como adicionar e remover classes em JS sem jquery

Outra abordagem para adicionar a classe ao elemento usando JavaScript puro

Para adicionar classe:

document.getElementById("div1").classList.add("classToBeAdded");

Para remover a classe:

document.getElementById("div1").classList.remove("classToBeRemoved");

Nota: mas não suportado em IE

Por amizade futura, apoio a recomendação para classList com polifill / shim: https://developer.mozilla.org/en-US/docs/Web/API/Element/classList#wrapper

var elem = document.getElementById( 'some-id' );
elem.classList.add('some-class'); // Add class
elem.classList.remove('some-other-class'); // Remove class
elem.classList.toggle('some-other-class'); // Add or remove class
if ( elem.classList.contains('some-third-class') ) { // Check for class
    console.log('yep!');
}

Adicionar & Remover As Classes (testadas no IE8+)

Adicionar guarnição () ao IE (retirado de: .trim () no JavaScript não trabalhar no IE)

if(typeof String.prototype.trim !== 'function') {
  String.prototype.trim = function() {
    return this.replace(/^\s+|\s+$/g, ''); 
  }
}

Adicionar e remover Classes:

function addClass(element,className) {
  var currentClassName = element.getAttribute("class");
  if (typeof currentClassName!== "undefined" && currentClassName) {
    element.setAttribute("class",currentClassName + " "+ className);
  }
  else {
    element.setAttribute("class",className); 
  }
}
function removeClass(element,className) {
  var currentClassName = element.getAttribute("class");
  if (typeof currentClassName!== "undefined" && currentClassName) {

    var class2RemoveIndex = currentClassName.indexOf(className);
    if (class2RemoveIndex != -1) {
        var class2Remove = currentClassName.substr(class2RemoveIndex, className.length);
        var updatedClassName = currentClassName.replace(class2Remove,"").trim();
        element.setAttribute("class",updatedClassName);
    }
  }
  else {
    element.removeAttribute("class");   
  } 
}

Utilização:

var targetElement = document.getElementById("myElement");

addClass(targetElement,"someClass");

removeClass(targetElement,"someClass");

Um JSFIDDLE funcional: http://jsfiddle.net/fixit/bac2vuzh/1/

ClassList está disponível a partir do IE10 em diante, use isso se puder.

element.classList.add("something");
element.classList.remove("some-class");

document.documentElement.className += " yourClassName";

Para remover a classe pode utilizar replace() função

document.documentElement.className.replace(/(?:^|\s)yourClassName(?!\S)/,'');

Também como @DavidThomas mencionou, teria de usar o new RegExp() construtor se quiser passar dinamicamente os nomes das classes para a função de substituição.

Quando se remove a expressão regular da equação, deixa-se um código menos" amigável", mas ainda assim pode ser feito com a (muito) forma menos elegante de split().

function removeClass(classString, toRemove) {
    classes = classString.split(' ');
    var out = Array();
    for (var i=0; i<classes.length; i++) {
        if (classes[i].length == 0) // double spaces can create empty elements
            continue;
        if (classes[i] == toRemove) // don't include this one
            continue;
        out.push(classes[i])
    }
    return out.join(' ');
}

Este método é muito maior do que um simples Substituição() mas pelo menos pode ser usado em navegadores mais antigos. E no caso do navegador nem sequer suportar o comando split() é relativamente fácil adicioná-lo usando protótipo.