Isto é melhor feito usando uma extensão para a classe NSDate existente.

A seguinte extensão adiciona um novo inicializador que irá criar uma data no local actual, usando o texto de data no formato que indicou.

extension NSDate
{
    convenience
      init(dateString:String) {
      let dateStringFormatter = NSDateFormatter()
      dateStringFormatter.dateFormat = "yyyy-MM-dd"
      dateStringFormatter.locale = NSLocale(localeIdentifier: "en_US_POSIX")
      let d = dateStringFormatter.dateFromString(dateString)!
      self.init(timeInterval:0, sinceDate:d)
    }
 }

NSDate(dateString:"2014-06-06")

Por favor, note que esta implementação não cache O Nsdatformatter, o que você pode querer fazer por razões de desempenho se você espera estar criando muitos NSDates neste forma.

Lembre-se também que esta implementação irá simplesmente falhar se tentar inicializar um NSDate passando por um texto que não pode ser processado correctamente. Isto deve-se ao desembrulhamento forçado do valor opcional devolvido por dateFromString. Se você quisesse devolver um nil em malhas, você preferiria usar um inicializador falível; mas você não pode fazer isso agora (junho de 2015), por causa de uma limitação no Swift 1.2, então você é a próxima melhor escolha é usar um método de fábrica de classe.

Mais um exemplo elaborado, que aborda ambas as questões, está aqui: https://gist.github.com/algal/09b08515460b7bd229fa

A Swift não tem o seu próprio tipo de Data, mas você deve usar o tipo de cacau existente NSDate, p. ex.:

class Date {

    class func from(year: Int, month: Int, day: Int) -> Date {
        let gregorianCalendar = NSCalendar(calendarIdentifier: .gregorian)!

        var dateComponents = DateComponents()
        dateComponents.year = year
        dateComponents.month = month
        dateComponents.day = day

        let date = gregorianCalendar.date(from: dateComponents)!
        return date
    }

    class func parse(_ string: String, format: String = "yyyy-MM-dd") -> Date {
        let dateFormatter = DateFormatter()
        dateFormatter.timeZone = NSTimeZone.default
        dateFormatter.dateFormat = format

        let date = dateFormatter.date(from: string)!
        return date
    }
}

Que pode usar como:

var date = Date.parse("2014-05-20")
var date = Date.from(year: 2014, month: 05, day: 20)

De acordo com a documentação da Apple

Exemplo:

var myObject = NSDate()
let futureDate = myObject.dateByAddingTimeInterval(10)
let timeSinceNow = myObject.timeIntervalSinceNow

In, Swift 3.0 você definiu objeto de data para este modo.

extension Date
{
    init(dateString:String) {
        let dateStringFormatter = DateFormatter()
        dateStringFormatter.dateFormat = "yyyy-MM-dd"
        dateStringFormatter.locale = Locale(identifier: "en_US_POSIX")
        let d = dateStringFormatter.date(from: dateString)!
        self(timeInterval:0, since:d)
    }
}

extension Date {

    init?(dateString: String) {
        let dateStringFormatter = DateFormatter()
        dateStringFormatter.dateFormat = "yyyy-MM-dd"
        if let d = dateStringFormatter.date(from: dateString) {
            self.init(timeInterval: 0, since: d)
        } else {
            return nil
        }
    }
}

Caso contrário, um texto com um formato inválido irá criar uma excepção.

De acordo com a resposta de @mythz, eu decido publicar a versão atualizada da sua extensão usando a sintaxe swift3.

extension Date {
    static func from(_ year: Int, _ month: Int, _ day: Int) -> Date?
    {
        let gregorianCalendar = Calendar(identifier: .gregorian)
        let dateComponents = DateComponents(calendar: gregorianCalendar, year: year, month: month, day: day)
        return gregorianCalendar.date(from: dateComponents)
    }
}

Eu não USO O Método {[[2]}, mas se alguém precisar, eu vou atualizar este post.

Tenho frequentemente a necessidade de combinar valores de data de um local com valores de tempo de outro. Escrevi uma função auxiliar para conseguir isto.

let startDateTimeComponents = NSDateComponents()
startDateTimeComponents.year = NSCalendar.currentCalendar().components(NSCalendarUnit.Year, fromDate: date).year
startDateTimeComponents.month = NSCalendar.currentCalendar().components(NSCalendarUnit.Month, fromDate: date).month
startDateTimeComponents.day = NSCalendar.currentCalendar().components(NSCalendarUnit.Day, fromDate: date).day
startDateTimeComponents.hour = NSCalendar.currentCalendar().components(NSCalendarUnit.Hour, fromDate: time).hour
startDateTimeComponents.minute = NSCalendar.currentCalendar().components(NSCalendarUnit.Minute, fromDate: time).minute
let startDateCalendar = NSCalendar(identifier: NSCalendarIdentifierGregorian)
combinedDateTime = startDateCalendar!.dateFromComponents(startDateTimeComponents)!